Question

已知函數(shù)f（x）=sinx（x＞0），g（x）=x（x＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈(0，

π

2

)時，求證：f（x）＜g（x）；
（Ⅱ）求證：g(x)-f(x)＜

1

6

x3．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h（x）的最大值為h（0）=0，即可得證；
（2）令F(x)=g(x)-f(x)-

1

6

x3（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得F（x）最大值為F（0）=0，即可得證．

解答： 解：（1）令h（x）=f（x）-g（x），則h（x）=sinx-x，x∈(0，

π

2

)，
∴h′（x）=cosx-1，∵x∈(0，

π

2

)，∴0＜cosx＜1，
∴h′（x）＜0，h（x）=sinx-x，x∈(0，

π

2

)是減函數(shù)，而h（0）=0，
當(dāng)x＞0時，h（x）＜h（0），即sinx-x＜0，∴sinx＜x，
故當(dāng)x∈(0，

π

2

)時，f（x）＜g（x）；
（2）令F(x)=g(x)-f(x)-

1

6

x3（x＞0），
則F(x)=x-sinx-

1

6

x3F（0）=0，F′(x)=1-cosx-

1

2

x2．
令G（x）=F'（x），則G(x)=1-cosx-

1

2

x2（x＞0），G（0）=0，G'（x）=sinx-x．
由（1）知，當(dāng)0＜x＜

π

2

時，sinx＜x，而當(dāng)x≥

π

2

時，sinx≤1，顯然sinx＜x，
故x＞0時，都有sinx＜x．
因此當(dāng)x＞0時，G'（x）=sinx-x＜0，于是G（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
而G（0）=0，當(dāng)x＞0時，G（x）＜G（0），即1-cosx-

1

2

x2＜0．
故F'（x）＜0，故F（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
而F（0）=0，當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）＜F（0），
即x-sinx-

1

6

x3＜0也即g(x)-f(x)-

1

6

x3＜0
∴g(x)-f(x)＜

1

6

x3．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的證明問題，考查通過構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值問題解決，考查等價轉(zhuǎn)化的劃歸思想的運(yùn)用能力，屬難題．