Question

（14分）（2011•廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=﹣2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn)，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)T（1，﹣1）且不平行與y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

（1）y²=4x+4 （x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）
（2）
（3）（﹣]∪（0，+∞）

試題分析：（1）由于直線l：x=﹣2交x軸于點(diǎn)A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP，可以設(shè)點(diǎn)P，由于滿足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相關(guān)點(diǎn)法可以求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題意及點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O及點(diǎn)T都為定點(diǎn)，利用圖形即可求出；
（3）由題意設(shè)出過(guò)定點(diǎn)的直線方程l₁并與點(diǎn)M的軌跡E的方程聯(lián)立，利用有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)與聯(lián)立之后的一元二次方程的判別式大于0，即可得到所求．
解：（1）如圖所示，連接OM，則|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP，∴動(dòng)點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x的負(fù)半軸上，設(shè)M（x，y） ①當(dāng)MP⊥l時(shí)，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化簡(jiǎn)得y²=4x+4 （x≥﹣1）②當(dāng)M在x的負(fù)半軸上時(shí)，y=0（x＜﹣1）綜上所述，點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4x+4 （x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）
（2）由題意畫出圖形如下：
∵由（1）知道動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程為：y²=4（x+1）．
是以（﹣1，0）為頂點(diǎn)，以O(shè)（0，0）為焦點(diǎn)，以x=﹣2為準(zhǔn)線的拋物線，
由H引直線HB垂直準(zhǔn)線x=﹣2與B點(diǎn)，則
利用拋物線的定義可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價(jià)于求折線|HB|+|HT|的最小值，
由圖可知當(dāng)由點(diǎn)T直接向準(zhǔn)線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故|HO|+|HT|的最小值時(shí)的H．
（3）如圖，設(shè)拋物線頂點(diǎn)A（﹣1，0），則直線AT的斜率∵點(diǎn)T（1，﹣1）在拋物線內(nèi)部，∴過(guò)點(diǎn)T且不平行于x，y軸的直線l₁必與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)則直線l₁與軌跡E的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分以下四種情況討論：①當(dāng)K時(shí)，直線l₁與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ②當(dāng)時(shí)，直線l₁與軌跡E有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn) ③當(dāng)K=0時(shí)，直線l₁與軌跡E有且只有一個(gè)交點(diǎn) ④當(dāng)K＞0時(shí)，直線l₁與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)綜上所述，直線l₁的斜率K的取值范圍是
（﹣]∪（0，+∞） 


點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，還考查了直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．