Question

已知定點，過點F且與直線相切的動圓圓心為點M，記點M的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）若點A的坐標為，與曲線E相交于B，C兩點，直線AB，AC分別交直線于點S，T.試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）.（2）以線段為直徑的圓恒過兩個定點.

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知，點的軌跡是以點為焦點, 為準線的拋物線.        
可得曲線的方程為.
（2）設點的坐標分別為，依題意得，.
由消去得，
應用韋達定理.
直線的斜率，
故直線的方程為.                  
令，得，
得到點的坐標為.點的坐標為.               
得到.
設線段的中點坐標為，
而
.     
故以線段為直徑的圓的方程為.
令，得，解得或.           
確定得到以線段為直徑的圓恒過兩個定點.
（1）由題意, 點到點的距離等于它到直線的距離,
故點的軌跡是以點為焦點, 為準線的拋物線.        
∴曲線的方程為.                                  4分
（2）設點的坐標分別為，依題意得，.
由消去得，
∴.                                    6分 
直線的斜率，
故直線的方程為.                  
令，得，
∴點的坐標為.                   
同理可得點的坐標為.               
∴
.  
∴.            8分
設線段的中點坐標為，
則
.     
∴以線段為直徑的圓的方程為.
展開得.                 11分        
令，得，解得或.           
∴以線段為直徑的圓恒過兩個定點.            13分