(本小題滿分14分)
已知拋物線
的焦點為
,
為
上異于原點的任意一點,過點
的直線
交
于另一點
,交
軸的正半軸于點
,且有
.當(dāng)點
的橫坐標(biāo)為
時,
為正三角形.
(Ⅰ)求
的方程;
(Ⅱ)若直線
,且
和
有且只有一個公共點
,
(。┳C明直線
過定點,并求出定點坐標(biāo);
(ⅱ)
的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.
(I)
.(II)(。┲本AE過定點
.(ⅱ)
的面積的最小值為16.
試題分析:(I)由拋物線的定義知
,
解得
或
(舍去).得
.拋物線C的方程為
.
(II)(ⅰ)由(I)知
,
設(shè)
,
可得
,即
,直線AB的斜率為
,
根據(jù)直線
和直線AB平行,可設(shè)直線
的方程為
,
代入拋物線方程得
,
整理可得
,
直線AE恒過點
.
注意當(dāng)
時,直線AE的方程為
,過點
,
得到結(jié)論:直線AE過定點
.
(ⅱ)由(。┲,直線AE過焦點
,
得到
,
設(shè)直線AE的方程為
,
根據(jù)點
在直線AE上,
得到
,再設(shè)
,直線AB的方程為
,
可得
,
代入拋物線方程得
,
可求得
,
,
應(yīng)用點B到直線AE的距離為
.
從而得到三角形面積表達(dá)式,應(yīng)用基本不等式得到其最小值.
試題解析:(I)由題意知
設(shè)
,則FD的中點為
,
因為
,
由拋物線的定義知:
,
解得
或
(舍去).
由
,解得
.
所以拋物線C的方程為
.
(II)(ⅰ)由(I)知
,
設(shè)
,
因為
,則
,
由
得
,故
,
故直線AB的斜率為
,
因為直線
和直線AB平行,
設(shè)直線
的方程為
,
代入拋物線方程得
,
由題意
,得
.
設(shè)
,則
,
.
當(dāng)
時,
,
可得直線AE的方程為
,
由
,
整理可得
,
直線AE恒過點
.
當(dāng)
時,直線AE的方程為
,過點
,
所以直線AE過定點
.
(ⅱ)由(ⅰ)知,直線AE過焦點
,
所以
,
設(shè)直線AE的方程為
,
因為點
在直線AE上,
故
,
設(shè)
,
直線AB的方程為
,
由于
,
可得
,
代入拋物線方程得
,
所以
,
可求得
,
,
所以點B到直線AE的距離為
.
則
的面積
,
當(dāng)且僅當(dāng)
即
時等號成立.
所以
的面積的最小值為16.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:填空題
設(shè)F
1,F(xiàn)
2是雙曲線
C:-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF
1|+|PF
2|=6a,且△PF
1F
2的最小內(nèi)角為30°,則C的漸近線方程為______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線
.命題p: 直線l
1:
與拋物線C有公共點.命題q: 直線l
2:
被拋物線C所截得的線段長大于2.若
為假,
為真,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
直線4kx-4y-k=0與拋物線y
2=x交于A、B兩點,若|AB|=4,則弦AB的中點到直線x+
=0的距離等于( )
A.
B.2 C.
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知過拋物線
的焦點
的直線交拋物線于
,
兩點.求證:
(1)
為定值;
(2)
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,正方形
和正方形
的邊長分別為
,原點
為
的中點,拋物線
經(jīng)過
兩點,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線方程為
,直線
的方程為
,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為
,P到直線
的距離為
,則
的最小值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(14分)(2011•廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x=﹣2交x軸于點A,設(shè)P是l上一點,M是線段OP的垂直平分線上一點,且滿足∠MPO=∠AOP.
(1)當(dāng)點P在l上運(yùn)動時,求點M的軌跡E的方程;
(2)已知T(1,﹣1),設(shè)H是E上動點,求|HO|+|HT|的最小值,并給出此時點H的坐標(biāo);
(3)過點T(1,﹣1)且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點,求直線l1的斜率k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若動點
與定點
和直線
的距離相等,則動點
的軌跡是( )
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