Question

已知{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=

a n，a n≥b n b n，an＜b n

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出公差和公比，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及條件列出方程求解，根據(jù)條件進(jìn)行取舍，代入等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡即可；
（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，確定n的范圍與a_n的b_n大小關(guān)系，再求出c_n，然后根據(jù)c_n以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分類求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，公比為q，則
a₂b₂=（3+d）q=12             ①，
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20   ②，
由①②得，3d²-2d-21=0，解得d=3或-

7

3

，
∵{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，
∴d=3，代入①得，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=1×2^n-1=2^n-1；
（2）由（1）得，當(dāng)n≤4時(shí)，a_n≥b_n；當(dāng)n≥5時(shí)，a_n＜b_n，
∴cn=

a n，a n≥b n b n，an＜b n

=

3n，    n≤4 2n-1， n≥5

，
則當(dāng)n≤4時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a_n=

3n(n+1)

2

，
當(dāng)n≥5時(shí)，T_n=a₁+a₂+a₃+a₄+b₅+b₆+…+b_n
=30+

16(1-2n-4)

1-2

=14+2ⁿ，
綜上得，Tn=

3n(n+1) 2   ，  n≤4 14+2n，   n≥5

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式綜合應(yīng)用，以及分類討論思想和計(jì)算能力．