Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上．
（Ⅰ）求異面直線D₁E與A₁D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D₁-EC-D的大小為45°，求點B到平面D₁EC的距離．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD₁．判斷AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D內(nèi)的射影．得到異面直線D₁E與A₁D所成的角．
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D₁F，說明∠DFD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，∠DFD₁=45°．利用等體積法，求點B到平面D₁EC的距離．
解法二：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積為0，即可求異面直線D₁E與A₁D所成的角；
（Ⅱ）

m

=（0，0，1）為面DEC的法向量，設(shè)

n

=（x，y，z）為面CED₁的法向量，通過二面角D₁-EC-D的大小為45°，求出x、y、z的關(guān)系，結(jié)合

n

⊥

D1C

，求出平面的法向量，利用d=

| CB • n |

| n |

求點B到平面D₁EC的距離．

解答： 解：解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD₁．由AA₁D₁D是正方形知AD₁⊥A₁D．
∵AB⊥平面AA₁D₁D，
∴AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D內(nèi)的射影．
根據(jù)三垂線定理得AD₁⊥D₁E，
則異面直線D₁E與A₁D所成的角為90°．…（5分）
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D₁F，則CE⊥D₁F．
所以∠DFD₁為二面角D₁-EC-D的平面角，∠DFD₁=45°．于是DF=DD1=1，D1F=

2

，
易得 Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以BE=

3

．
設(shè)點B到平面D₁EC的距離為h，則由于VB-CED1=VD-BCE，即f'（x），
因此有CE•D₁F•h=BE•BC•DD₁，即2

2

h=

3

，∴h=

6

4

．…..…（12分）
解法二：如圖，分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）由A₁（1，0，1），得

DA1

=(1，0，1)，
設(shè)E（1，a，0），又D₁（0，0，1），則

D1E

=(1，a，-1)．
∵

DA1

•

D1E

=1+0-1=0∴

DA1

⊥

D1E

，則異面直線D₁E與A₁D所成的角為90°．…（5分）
（Ⅱ）

m

=（0，0，1）為面DEC的法向量，設(shè)

n

=（x，y，z）為面CED₁的法向量，
則|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|z|

x2+y2+z2

=cos45°=

2

2

，
∴z²=x²+y²．①
由C（0，2，0），得

D1C

=(0，2，-1)，則

n

⊥

D1C

，即

n

•

D1C

=0，∴2y-z=0②
由①、②，可取

n

=(

3

，1，2)，又

CB

=(1，0，0)，
所以點B到平面D₁EC的距離d=

| CB • n |

| n |

=

3

2 2

=

6

4

．…（12分）

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角、異面直線及其所成的角、點、線、面間的距離計算、二面角的平面角及求法，考查空間想象能力以及計算能力．