Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．
（Ⅰ）證明：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）設(shè)直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離為

3

，求二面角A₁-AB-C的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì),二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合三垂線定理可得；
（Ⅱ）作輔助線可證∠A₁FD為二面角A₁-AB-C的平面角，解三角形由反三角函數(shù)可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABC，A₁D?平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA₁C₁C，連結(jié)A₁C，
由側(cè)面AA₁C₁C為菱形可得AC₁⊥A₁C，
由三垂線定理可得AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA₁C₁C，BC?平面BCC₁B₁，
∴平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁，
作A₁E⊥CC₁，E為垂足，可得A₁E⊥平面BCC₁B₁，
又直線AA₁∥平面BCC₁B₁，
∴A₁E為直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離，即A₁E=

3

，
∵A₁C為∠ACC₁的平分線，∴A₁D=A₁E=

3

，
作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連結(jié)A₁F，
由三垂線定理可得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FD為二面角A₁-AB-C的平面角，
由AD=

AA12-A1D2

=1可知D為AC中點，
∴DF=

1

2

×

AC×BC

AB

=

5

5

，
∴tan∠A₁FD=

A1D

DF

=

15

，
∴二面角A₁-AB-C的大小為arctan

15

點評：本題考查二面角的求解，作出并證明二面角的平面角是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．