【題目】已知函數(shù)f(x)=axln(x+1)+x+1(x>﹣1,a∈R).
(1)若 ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥0時,不等式f(x)≤ex恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a= 時,f(x)= xln(x+1)+x+1,

f′(x)= [ln(x+1)+1﹣ ]+1,

∵f′(x)在(﹣1,+∞)遞增,且f′(﹣1+ )=0,

故x∈(﹣1,﹣1+ )時,f′(x)<0,f(x)遞減,

x∈(﹣1+ ,+∞)時,f′(x)>0,f(x)遞減,

故f(x)在(﹣1,﹣1+ )遞減,在(﹣1+ ,+∞);


(2)解:記g(x)=f(x)﹣ex(x≥0),g(0)=0,

則g′(x)=a[ln(x+1)+1﹣ ]+1﹣ex,

記h(x)=a[ln(x+1)+1﹣ ]+1﹣ex,

h′(x)=a[ + ]﹣ex,h′(0)=2a﹣1,

①a≤ 時,∵ + ∈(0,2],ex≥1,

∴h′(x)≤0,h(x)在(0,+∞)遞減,

則h(x)≤h(0)=0,即g′(x)≤0,∴g(x)在(0,+∞)遞減,

∴g(x)≤g(0)=0恒成立,即f(x)≤ex恒成立,滿足題意;

②a≥ 時,h′(x)在(0,+∞)遞減,

又h′(0)=2a﹣1>0,x→+∞時,h′(x)→﹣∞,

則必存在x0∈(0,+∞),使得h′(x0)=0,

則x∈(0,x0)時,h′(x)>0,h(x)在(0,x0)遞增,

此時h(x)>h(0)=0,

x∈(0,x0)時,g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)遞增,

∴g(x)>g(0)=0,即f(x)>ex,不合題意,

綜上,a≤


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)記g(x)=f(x)﹣ex(x≥0),g(0)=0,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),記h(x)=a[ln(x+1)+1﹣ ]+1﹣ex,通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性,從而確定a的具體范圍即可.

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