Question

【題目】已知，如圖，拋物線的方程為，直線的方程為，直線交拋物線于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，直線， 分別與拋物線切于點(diǎn)， ．

（）求：線段的長(zhǎng)．

（）直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．

（）作直線直線，分別交拋物線和兩條已知切線， 于點(diǎn)， ， ， ．

求證： ．

Answer 1

【答案】（） （）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）將直線與拋物線聯(lián)立消去，設(shè)， ，通過(guò)韋達(dá)定理求出， 的值，代入弦長(zhǎng)公式得答案；（2）由（1）可求出，再求出直線與的切線方程，聯(lián)系方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，比較與的橫坐標(biāo)即可；（3）由直線∥直線l，可設(shè)直線方程為，與直線交于一點(diǎn)，由為中點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，將直線與拋物線聯(lián)立消去，設(shè)， ，通過(guò)韋達(dá)定理求出的值，再根據(jù)即可求得.

試題解析：（）直線與拋物線相交于， 兩點(diǎn)，

，整理得，

∴，

，

∴， ，

∴

．

（）∵，

設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，

切點(diǎn)，

∴，有且僅有一根，

整理得

直線的方程為，

同理直線的方程為，

兩者聯(lián)立，解出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)，

，

，

∴點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，

即直線平行于軸，

即直線平行于拋物線的對(duì)稱軸．

（3）由題意可設(shè)直線方程為，且與直線交于一點(diǎn)

，整理可得

∴

∴

∵直線∥直線l，且為中點(diǎn)

∴為中點(diǎn)，即

∴，

∴，

∵，

∴

∴