【題目】已知函數(shù),,其中.
討論函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù);
若函數(shù)與的圖象無交點(diǎn),設(shè)直線與的數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)P,證明:.
【答案】(1)見解析(2)見證明
【解析】
原問題等價(jià)于求解方程根的個(gè)數(shù),據(jù)此構(gòu)造函數(shù),分類討論即可確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù);由可知,當(dāng)函數(shù)與的圖象無交點(diǎn)時(shí),,據(jù)此構(gòu)造函數(shù)證明題中的不等式即可.
函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù),
設(shè),.
則在上單調(diào)遞增,且.
當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,,則在上單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),.
當(dāng),即時(shí),函數(shù)無零點(diǎn),即函數(shù)與的圖象無交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)與的圖象有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),又.
,所以在和上分別有一個(gè)零點(diǎn).
所以,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;
當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;
當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
由可知,當(dāng)函數(shù)與的圖象無交點(diǎn)時(shí),.
設(shè),,由得,由得,
.
設(shè),
先證明不等式,再證明,.
設(shè)則.
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
所以,即.
設(shè)則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減:
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以,即.
所以.
因?yàn)?/span>時(shí),中等號(hào)成立,時(shí),中等號(hào)成立,
而,所以等號(hào)不能同時(shí)成立.
所以.
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)說法,其中正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題是“若,則”
B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件
C.命題“,”的否定是“,”
D.命題“在中,若,則是銳角三角形”的逆否命題是假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦距與短軸長相等,橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)為橢圓上異于左右頂點(diǎn),的任意一點(diǎn),過原點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn),求的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線:,過拋物線焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),且的周長為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),過點(diǎn)、分別作拋物線的切線、,切線與相交于點(diǎn),求:的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離與最近距離分別是與,的左頂點(diǎn)為與軸平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),過、兩點(diǎn)且分別與直線、垂直的直線相交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng),并求出該直線的方程;
(3)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)于任意都有成立,試求的取值范圍;
(3)記.當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一個(gè)各個(gè)面上均涂有顏色的正方體鋸成個(gè)同樣大小的小正方體,從這些小正方體中任意取兩個(gè),這兩個(gè)都恰是兩面涂色的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地統(tǒng)計(jì)局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(每個(gè)分組包括左端點(diǎn),不包括右端點(diǎn),如第一組表示收入在[1000,1500)).
(1)求居民月收入在[2000,2500)的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)在月收入為[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的三組居民中,采用分層抽樣方法抽出90人作進(jìn)一步分析,則月收入在[3000,3500)的這段應(yīng)抽多少人?
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