【題目】已知函數.
(1)證明:函數在上存在唯一的零點;
(2)若函數在區(qū)間上的最小值為1,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)求解出導函數,分析導函數的單調性,再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可;
(2)根據導函數零點,判斷出的單調性,從而可確定,利用以及的單調性,可確定出之間的關系,從而的值可求.
(1)證明:∵,∴.
∵在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,
∴函數在上單調遞增.
又,令,,
則在上單調遞減,,故.
令,則
所以函數在上存在唯一的零點.
(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).
函數在上單調遞增.
∴當時,,單調遞減;當時,,單調遞增.
∴.
由(*)式得.
∴,顯然是方程的解.
又∵是單調遞減函數,方程有且僅有唯一的解,
把代入(*)式,得,∴,即所求實數的值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】有件產品,其中件是次品,其余都是合格品,現(xiàn)不放回的從中依次抽件.求:(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的條件下,第二次抽到次品的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側棱底面,,,,,是棱中點.
(1)已知點在棱上,且平面平面,試確定點的位置并說明理由;
(2)設點是線段上的動點,當點在何處時,直線與平面所成角最大?并求最大角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)已知點,直線與曲線相交于兩點,求證:.
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【題目】記無窮數列的前n項,,…,的最大項為,第n項之后的各項,,…的最小項為,.
(1)若數列的通項公式為,寫出,,;
(2)若數列的通項公式為,判斷是否為等差數列,若是,求出公差;若不是,請說明理由;
(3)若數列為公差大于零的等差數列,求證:是等差數列.
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