【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)在棱上，且平面平面，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.

【答案】（1）為中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.

【解析】

(1)為中點(diǎn),可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；

（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

（1）為中點(diǎn)，證明如下：

分別為中點(diǎn)，

又平面平面

平面

又，且四邊形為平行四邊形，

同理，平面，又

平面平面

（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系

則，

設(shè)直線與平面所成角為，則

取平面的法向量為則

令，則

所以

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

即當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：存在唯一的，使得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線l與函數(shù)的圖象也相切；

（3）求證：對(duì)任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某農(nóng)場(chǎng)灌溉水渠長(zhǎng)為1000米，橫截面是等腰梯形，如圖，在等腰梯形中，，，其中渠底寬為1米，渠口寬為3米，渠深米.根據(jù)國(guó)家對(duì)農(nóng)田建設(shè)補(bǔ)貼的政策，該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在原水渠的基礎(chǔ)上分別沿射線方向加寬、方向加深，若擴(kuò)建后的水渠橫截面仍是等腰梯形，且面積是原面積的2倍.設(shè)擴(kuò)建后渠深為米，若挖掘費(fèi)用為每立方米萬(wàn)元，水渠的內(nèi)壁（渠底和梯形兩腰，端也要重新鋪設(shè)）鋪設(shè)混凝土的費(fèi)用為每平方米萬(wàn)元.

（1）用表示渠底的長(zhǎng)度，并求出的取值范圍；

（2）問(wèn)渠深為多少米時(shí)，建設(shè)費(fèi)用最低？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我校隨機(jī)抽取100名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

積極參加班級(jí)工作

不太主動(dòng)參加班級(jí)工作

總計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

40

學(xué)習(xí)積極性一般

30

總計(jì)

100

已知隨機(jī)抽查這100名學(xué)生中的一名學(xué)生，抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是0.6.

（1）請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整（不用寫計(jì)算過(guò)程）；

（2）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān)？并說(shuō)明理由.附：

0.050

0.010

0.001

K

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值；

(3)數(shù)列滿足.

證明：①；

②.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

組別

男

2

3

5

15

18

12

女

0

5

10

10

7

13

(1)若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？

(2)若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．

①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；

②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：

紅包金額（單位：元）

10

20

概率

現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某射擊運(yùn)動(dòng)員在比賽前進(jìn)行三周的封閉訓(xùn)練，教練員將其每天成績(jī)的均值數(shù)據(jù)整理，并繪成條形圖如下，

根據(jù)該圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是：（ ）

A.第三周平均成績(jī)最好B.第一周平均成績(jī)比第二平均成績(jī)好

C.第一周成績(jī)波動(dòng)較大D.第三周成績(jī)比較穩(wěn)定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年春季，某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來(lái)報(bào)廢的出租車，現(xiàn)有兩款車型，根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù)，得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下：

使用壽命年數(shù)

5年

6年

7年

8年

總計(jì)

型出租車(輛)

10

20

45

25

100

型出租車(輛)

15

35

40

10

100

（1）填寫下表，并判斷是否有的把握認(rèn)為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)？

使用壽命不高于年

使用壽命不低于年

總計(jì)

型

型

總計(jì)

（2）司機(jī)師傅小李準(zhǔn)備在一輛開了年的型車和一輛開了年的型車中選擇，為了盡最大可能實(shí)現(xiàn)年內(nèi)（含年）不換車，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他應(yīng)如何選擇.

附：，.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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