【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,有兩個不同的零點,求證:.
【答案】(1)1;(2)證明見解析
【解析】
(1)求導得到,討論和兩種情況,根據(jù)函數(shù)單調性得到,解得答案.
(2)要證明,只需要證明,設,求導得到單調性,得到,得到證明.
(1)由已知得函數(shù)的定義域為,且,
當時,,在上單調遞增,
且當時,,不合題意;
當時,由得,
所以在上單調遞減,在上單調遞增,在處取到極小值,也是最小值,由題意,恒成立,
令,,在上單調遞增,在上單調遞減,
所以,所以,即.
(2),且在處取到極小值1,
又時,,時,,故且,
要證明:,只需證明,又,
故只需證明:,即證:,
即證:,即證:,
設,則,
因為,所以,由(1)知恒成立,
所以,即,
所以在上為增函數(shù),所以,即命題成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某農場灌溉水渠長為1000米,橫截面是等腰梯形,如圖,在等腰梯形中,,,其中渠底寬為1米,渠口寬為3米,渠深米.根據(jù)國家對農田建設補貼的政策,該農場計劃在原水渠的基礎上分別沿射線方向加寬、方向加深,若擴建后的水渠橫截面仍是等腰梯形,且面積是原面積的2倍.設擴建后渠深為米,若挖掘費用為每立方米萬元,水渠的內壁(渠底和梯形兩腰,端也要重新鋪設)鋪設混凝土的費用為每平方米萬元.
(1)用表示渠底的長度,并求出的取值范圍;
(2)問渠深為多少米時,建設費用最低?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某射擊運動員在比賽前進行三周的封閉訓練,教練員將其每天成績的均值數(shù)據(jù)整理,并繪成條形圖如下,
根據(jù)該圖,下列說法錯誤的是:( )
A.第三周平均成績最好B.第一周平均成績比第二平均成績好
C.第一周成績波動較大D.第三周成績比較穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某周末,鄭州方特夢幻王國匯聚了八方來客.面對該園區(qū)內相鄰的兩個主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說”,成年人和未成年人選擇游玩的意向會有所不同.某統(tǒng)計機構對園區(qū)內的100位游客(這些游客只在兩個主題公園中二選一)進行了問卷調查.調查結果顯示,在被調查的50位成年人中,只有10人選擇“西游傳說”,而選擇“西游傳說”的未成年人有20人.
(1)根據(jù)題意,請將下面的列聯(lián)表填寫完整;
選擇“西游傳說” | 選擇“千古蝶戀” | 總計 | |
成年人 | |||
未成年人 | |||
總計 |
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關.
附參考公式與表:().
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長為的正方形,周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為,.
(1)求關于的函數(shù)關系式;
(2)定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù),當優(yōu)美系數(shù)最大時,招貼畫最優(yōu)美.證明:當角滿足:時,招貼畫最優(yōu)美.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R的奇函數(shù)滿足,且時, ,下面四種說法①;②函數(shù)在[-6,-2]上是增函數(shù);③函數(shù)關于直線對稱;④若,則關于的方程在[-8,8]上所有根之和為-8,其中正確的序號__________。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2020年春季,某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報廢的出租車,現(xiàn)有兩款車型,根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù),得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下:
使用壽命年數(shù) | 5年 | 6年 | 7年 | 8年 | 總計 |
型出租車(輛) | 10 | 20 | 45 | 25 | 100 |
型出租車(輛) | 15 | 35 | 40 | 10 | 100 |
(1)填寫下表,并判斷是否有的把握認為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關?
使用壽命不高于年 | 使用壽命不低于年 | 總計 | |
型 | |||
型 | |||
總計 |
(2)司機師傅小李準備在一輛開了年的型車和一輛開了年的型車中選擇,為了盡最大可能實現(xiàn)年內(含年)不換車,試通過計算說明,他應如何選擇.
附:,.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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