Question

定義在區(qū)間[a，b]上的函數y=f（x），f′（x）是函數f（x）的導數，如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），則稱ξ為[a，b]上的“中值點”．下列函數：
①f（x）=2x+1，
②f（x）=x²-x+1，
③f（x）=ln（x+1），
④f（x）=（x-

1

2

）³，x∈[-2，2]
其中在區(qū)間上的“中值點”多于一個的函數是

 

（請寫出你認為正確的所有結論的序號）．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：新定義,導數的概念及應用

分析：根據“中值點”的幾何意義是在區(qū)間[a，b]上存在點，使得函數在該點的切線的斜率等于區(qū)間[a，b]的兩個端點連線的斜率值．由此定義并結合函數的圖象與性質，對于四個選項逐一判斷，即得出正確答案．

解答： 解：根據題意，“中值點”的幾何意義是在區(qū)間[a，b]上存在點，使得函數在該點的切線的斜率等于區(qū)間[a，b]的兩個端點連線的斜率值．
對于①，根據題意，在區(qū)間[a，b]上的任一點都是“中值點”，f′（x）=2，滿足f（b）-f（a）=f′（x）（b-a），∴①正確；
對于②，根據“中值點”函數的定義，拋物線在區(qū)間[a，b]只存在一個“中值點”，∴②不正確；
對于③，f（x）=ln（x+1）在區(qū)間[a，b]只存在一個“中值點”，∴③不正確；
對于④，∵f′（x）=3(x-

1

2

)2，且f（2）-f（-2）=19，2-（-2）=4；∴3(x-

1

2

)2×4=19，解得x=

1

2

±

19 12

∈[-2，2]，∴存在兩個“中值點”，④正確．
故答案為：①④

點評：本題考查了新定義的命題真假的判斷問題，重點是對導數及其幾何意義的理解與應用問題，是中檔題．