Question

13．若-1＜a＜0，則不等式$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{1+a}$的最大值為-3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)f（a）=$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{1+a}$，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)f（a）=$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{1+a}$，
∴f′（a）=-$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{（a+1）^{2}}$=$\frac{-{a}^{2}-4a-2}{{a}^{2}（1+a）^{2}}$，
∵-1＜a＜0，
令f′（a）=0，解得a=-2+$\sqrt{2}$，
當f′（a）＞0，即（-2+$\sqrt{2}$，0）單調(diào)遞減，
當f′（a）＜0，即（-1，-2+$\sqrt{2}$）單調(diào)遞增，
當a=-2+$\sqrt{2}$函數(shù)f（a）有最大值，
即f（-2+$\sqrt{2}$）=$-3-2\sqrt{2}$，
故答案為：-3-2$\sqrt{2}$

點評 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，關(guān)鍵時構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．