Question

4．給出下列命題：
①△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＞b，則cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；
②a，b∈R，若a＞b，則a³＞b³；
③若a＜b，則$\frac{a}$＜$\frac{b+x}{a+x}$；
④設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₂₀₁₆-S₁=1，則S₂₀₁₇＞1．
其中正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷①；由不等式的性質(zhì)判斷②；舉例說明③錯(cuò)誤；由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和推出S₂₀₁₇＞1判斷④．

解答 解：①，△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosA＜cosB，
由sinA＞sinB＞0，得sin²A＞sin²B，∴1-2sin²A＜1-2sin²B，則cos2A＜cos2B，故①正確；
②，a，b∈R，若a＞b，由不等式的性質(zhì)得a³＞b³，故②正確；
③，取a=1，b=3，x=1，滿足a＜b，$\frac{a}$＞$\frac{b+x}{a+x}$，故③錯(cuò)誤；
④，等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₂₀₁₆-S₁=1，則a₂+a₃+…+a₂₀₁₆=1，
∴2015a₁+（d+2d+…+2015d）=1，則$2015{a}_{1}+\frac{（d+2015d）×2015}{2}=1$，
∴${a}_{1}+1008d=\frac{1}{2015}$，即${a}_{1009}=\frac{1}{2015}$，則S₂₀₁₇=2017${a}_{2019}=2017×\frac{1}{2015}$＞1，故④正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形中的邊角關(guān)系，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的應(yīng)用，是中檔題．