Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b=2，B=45°，且此三角形只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由B的度數(shù)求出sinB的值，再由b的值，利用正弦定理得出a與sinA的關系式，同時由B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，再根據(jù)三角形只有一解，可得A只有一個值，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質得到A的范圍，且當A為直角時，也滿足題意，進而由A的范圍，求出正弦函數(shù)的值域，根據(jù)a與sinA的關系式，由正弦函數(shù)的值域即可可得出a的范圍

解答 解：∵B=45°，b=2，
根據(jù)正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$sinA，
又A+C=180°-45°=135°，且三角形只一解，可得A有一個值，
∴0＜A≤45°，
又A=90°時，三角形也只有一解，
∴0＜sinA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或sinA=1，
又a=2$\sqrt{2}$sinA，
∴a的取值范圍為（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．
故答案為：（0，2]∪{2$\sqrt{2}$}．

點評 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質，正弦函數(shù)的定義域和值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查了學生綜合分析問題及基本運算的能力，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．