【題目】已知函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù),證明:對(duì)任意,
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅲ)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo), ,代入x=1,可求得,切點(diǎn)坐標(biāo)再點(diǎn)斜式可求切線方程。(2)定義域因?yàn)?/span>又得,可得單調(diào)區(qū)間。(3), 等價(jià)于在時(shí)恒成立,由(2)知,當(dāng)時(shí), 的最大值,即證。
試題解析:(Ⅰ) 的定義域?yàn)?/span>,
由,得,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
,所以,
所以曲線點(diǎn)A處的切線方程為
(Ⅱ),所以
令得,因此當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅲ)證明:因?yàn)?/span>,所以, 等價(jià)于在時(shí)恒成立,
由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí), 的最大值,
故,
因?yàn)?/span>時(shí),
所以,
因此任意, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對(duì)他前次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)進(jìn)行分析.下面是該生次考試的成績(jī).
數(shù)學(xué) | 108 | 103 | 137 | 112 | 128 | 120 | 132 |
物理 | 74 | 71 | 88 | 76 | 84 | 81 | 86 |
(Ⅰ)他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定?請(qǐng)給出你的說(shuō)明;
(Ⅱ)已知該生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)是線性相關(guān)的,求物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的回歸直線方程
(Ⅲ)若該生的物理成績(jī)達(dá)到90分,請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少?
(附: )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知(, )展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1.
(1)求和的值;
(2)展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)?若有,求出常數(shù)項(xiàng);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了弘揚(yáng)民族文化,某校舉行了“我愛(ài)國(guó)學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿足100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)制表,其中成績(jī)不低于80分的考生被評(píng)為優(yōu)秀生,請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),用頻率估計(jì)概率,回答下列問(wèn)題.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | 0.05 | |
0.20 | ||
35 | ||
25 | 0.25 | |
15 | 0.15 | |
合計(jì) | 100 | 1.00 |
(1)求的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(2)按頻率分布表中的成績(jī)分組,采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛(ài)國(guó)學(xué)”宣傳活動(dòng),求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(3)在第(2)問(wèn)抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人,求至少一人的成績(jī)?cè)?/span>的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在等腰直角三角形中, , 為的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且,現(xiàn)沿將折起到的位置,使,點(diǎn)在上,且.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(θ為參數(shù)),將上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的和2倍后得到曲線,以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(1)試寫出曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的參數(shù)方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最小,并求此最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若為整數(shù), ,且當(dāng)時(shí), 恒成立,其中為的導(dǎo)函數(shù),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】汽車托運(yùn)重量為P(kg)的貨物時(shí),托運(yùn)每千米的費(fèi)用(單位:元)標(biāo)準(zhǔn)為:
y=
試編寫一程序求行李托運(yùn)費(fèi).
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