Question

給出下列四個命題：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；
②利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a-1＞0”發(fā)生的概率為

1

3

；
③已知{S_n}是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃；
④若函數(shù)y=f（x-

3

2

）為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F（

3

2

，0）成中心對稱．
⑤函數(shù)f（x）=cos³x+sin²x-cosx（x∈R）有最大值為2，有最小值為0．
其中所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①先證充分性；再證必要性；利用隨機(jī)數(shù)概率的求法求出事件“3a-1＞0”發(fā)生的概率可以判斷②的真假；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)對③進(jìn)行判斷，即可判斷③的正誤．利用奇函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)圖象的平移判斷④的正誤；將函數(shù)y=cos³x+sin²x-cosx轉(zhuǎn)化為y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式，求得最大值．判斷正誤．

解答： 解：對于①，A＞B，則邊a＞邊b，
根據(jù)正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，則sinA＞sinB；
由sinA＞sinB，根據(jù)正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，則邊a＞邊b，則有A＞B．
∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件．命題①正確；
對于②，由3a-1＞0，得a＞

1

3

，
∵在0到1上服從均勻分布，
∴事件“3a-1＞0”發(fā)生的概率為

1- 1 3

1

=

2

3

．命題②錯誤；
對于③，∵S₇＞S₅，
∴S₇-S₅=a₇+a₆＞0，
又S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=3（a₆+a₇）＞0，
∴S₉＞S₃．命題③正確；
對于④，函數(shù)y=f（x-

3

2

）為R上的奇函數(shù)，則y=f（x-

3

2

）的圖象關(guān)于（0，0）中心對稱，
則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F（-

3

2

，0）成中心對稱．命題④錯誤；
對于⑤，⑤，：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤[

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

]3=

64

27

，
當(dāng)且僅當(dāng)1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

時取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．故⑤不正確．
∴所有正確命題的序號為①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，函數(shù)的周期性，充要條件的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．