【題目】已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2 的直線交拋物線于A(x1 , y1)和B(x2 , y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9,
(1)求該拋物線的方程;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若 ,求λ的值.
【答案】
(1)解:直線AB的方程是y=2 (x﹣ ),與y2=2px聯(lián)立,有4x2﹣5px+p2=0,
∴x1+x2=
由拋物線定義得:|AB|=x1+x2+p=9
∴p=4,∴拋物線方程是y2=8x
(2)解:由p=4,4x2﹣5px+p2=0得:x2﹣5x+4=0,
∴x1=1,x2=4,
y1=﹣2 ,y2=4 ,從而A(1,﹣2 ),B(4,4 ).
設(shè) =(x3,y3)=(1,﹣2 )+λ(4,4 )=(4λ+1,4 λ﹣2 )
又[2 (2λ﹣1)]2=8(4λ+1),解得:λ=0,或λ=2
【解析】(1)直線AB的方程與y2=2px聯(lián)立,有4x2﹣5px+p2=0,從而x1+x2= ,再由拋物線定義得:|AB|=x1+x2+p=9,求得p,則拋物線方程可得.(2)由p=4,4x2﹣5px+p2=0求得A(1,﹣2 ),B(4,4 ).再求得設(shè) 的坐標(biāo),最后代入拋物線方程即可解得λ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一果農(nóng)種植了1000棵果樹,為估計(jì)其產(chǎn)量,從中隨機(jī)選取20棵果樹的產(chǎn)量(單位:kg)作為樣本數(shù)據(jù),得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(45,50]上的果樹棵數(shù)為8,
(1)求頻率分布直方圖中a,b的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這20棵果樹產(chǎn)量的中位數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這1000棵果樹的總產(chǎn)量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].已知圖中x=0.018,則由直觀圖估算出中位數(shù)(精確到0.1)的值為( )
A.75.5
B.75.2
C.75.1
D.75.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC中.
(1)設(shè) = ,求證:△ABC是等腰三角形;
(2)設(shè)向量 =(2sinC,﹣ ), =(sin2C,2cos2 ﹣1),且 ∥ ,若sinA= ,求sin( ﹣B)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=4 x的交點(diǎn)為橢圓 (a>b>0)的右焦點(diǎn),且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左右頂點(diǎn)分別為A,B,經(jīng)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于C,D(異于A,B)兩點(diǎn).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求四邊形ADBC的面積的最大值;
(3)若M(x1 , y1)N(x2 , y2)是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn),且滿x1x2+2y1y2=0,動(dòng)點(diǎn)P滿足 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在兩定點(diǎn)F1 , F2使得|PF1|+|PF2|為定值,若存在求出該定值,若不存在說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC的中點(diǎn).證明A1 , C1 , F,E四點(diǎn)共面,并求直線CD1與平面A1C1FE所成角的正弦值.
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【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),f(0)=2,對(duì)任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,則不等式exf(x)>ex+1的解集為( )
A.(0,+∞)
B.(﹣∞,0)
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D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
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【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+1)=0,且在[﹣3,﹣2]上f(x)=2x+5,A、B是三邊不等的銳角三角形的兩內(nèi)角,則下列不等式正確的是( )
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C.f(sinA)>f(cosB)
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【題目】一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每12分鐘轉(zhuǎn)一周,最低點(diǎn)距地面2米,最高點(diǎn)距地面18米,P是摩天輪輪周上一定點(diǎn),從P在最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí),則14分鐘后P點(diǎn)距地面的高度是米.
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