Question

(本小題滿(mǎn)分14分)
已知橢圓G與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓G的方程；
(2)設(shè)、是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為………………1分
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，即，
又，所以  ∴橢圓G的方程………………5分
(2)如圖,設(shè)內(nèi)切圓M的半徑為,與直線的切點(diǎn)為C，則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.
即
當(dāng)最大時(shí),也最大, 內(nèi)切圓的面積也最大, ………………7分
設(shè)、(),則,
由,得,………………9分
解得,,
∴,令,則,且,
有,令,則,……………11分
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,有,,
即當(dāng),時(shí),有最大值,得,這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為,……………12分
∴存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為. ………………13分

略