【題目】△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,R是△ABC的外接圓半徑,有下列四個條件: ⑴(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab
⑵sinA=2cosBsinC
⑶b=acosC,c=acosB
⑷
有兩個結(jié)論:甲:△ABC是等邊三角形.乙:△ABC是等腰直角三角形.
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件,兩個結(jié)論中的一個為結(jié)論,寫出一個你認(rèn)為正確的命題 .
【答案】(1)(2)→甲 或 (2)(4)→乙 或 (3)(4)→乙
【解析】解:由(1)(2)為條件,甲為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由如下:
證明:由(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab,變形得:
a2+b2+2ab﹣c2=3ab,即a2+b2﹣c2=ab,
則cosC= = ,又C為三角形的內(nèi)角,
∴C=60°,
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin(B﹣C)=0,
∵﹣π<B﹣C<π,
∴B﹣C=0,即B=C,
則A=B=C=60°,
∴△ABC是等邊三角形;
以(2)(4)作為條件,乙為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由為:
證明:化簡得:sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
即sinBcosC﹣cosBsinC=sin(B﹣C)=0,
∵﹣π<B﹣C<π,
∴B﹣C=0,即B=C,
∴b=c,
由正弦定理 = = =2R得:
sinA= ,sinB= ,sinC= ,
代入 得:
2R( ﹣ )=( a﹣b) ,
整理得:a2﹣b2= ab﹣b2,即a2= ab,
∴a= b,
∴a2=2b2,又b2+c2=2b2,
∴a2=b2+c2,
∴∠A=90°,
則三角形為等腰直角三角形;
以(3)(4)作為條件,乙為結(jié)論,得到的命題為真命題,理由為:
證明:由正弦定理 = = =2R得:
sinA= ,sinB= ,sinC= ,
代入 得:
2R( ﹣ )=( a﹣b) ,
整理得:a2﹣b2= ab﹣b2,即a2= ab,
∴a= b,
∴a2=2b2,又b2+c2=2b2,
∴a2=b2+c2,
∴∠A=90°,
又b=acosC,c=acosB,
根據(jù)正弦定理得:sinB=sinAcosC,sinC=sinAcosB,
∴ = ,即sinBcosB=sinCcosC,
∴sin2B=sin2C,又B和C都為三角形的內(nèi)角,
∴2B=2C,即B=C,
則三角形為等腰直角三角形.
所以答案是:(1)(2)→甲 或 (2)(4)→乙 或 (3)(4)→乙
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義,掌握正弦定理:即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1 , F2 , 拋物線y2=4x與橢圓C有相同的焦點,且橢圓C過點 . (I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若橢圓C的右頂點為A,直線l交橢圓C于E、F兩點(E、F與A點不重合),且滿足AE⊥AF,若點P為EF中點,求直線AP斜率的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量 =(sinx,﹣1), =( cosx,﹣ ),函數(shù)f(x)=( + ) .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈(0, )時,求函數(shù)f(x)的值域.
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【題目】如圖是某市舉辦青少年運動會上,7位裁判為某武術(shù)隊員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖,左邊數(shù)字表示十位數(shù)字,右邊數(shù)字表示個位數(shù)字,這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( ),去掉一個最低分和最高分所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是( )
A.86.5,86.7
B.88,86.7
C.88,86.8
D.86,5,86.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在圓上,且圓與直線x﹣y+1=0相交所得的弦長為 ,則圓的方程為 .
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=4(a3﹣a4),數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣2log2an .
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若λ>0,求對所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范圍.
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【題目】在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足 = .
(1)求角A的大。
(2)若a= ,△ABC的面積S△ABC=3 ,求b+c的值,;
(3)若函數(shù)f(x)=2sinxcos(x+ ),求f(B)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 已知a1=1,S3=12.
(1)求a24與S7的值;
(2)已知m、n均為正整數(shù),滿足am=Sn . 試求所有n的值構(gòu)成的集合.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x(a∈R)
(1)當(dāng)a=4時,解不等式f(x)≥8;
(2)當(dāng)a∈[0,4]時,求f(x)在區(qū)間[3,4]上的最小值;
(3)若存在a∈[0,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有3個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.
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