【題目】在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足 =
(1)求角A的大;
(2)若a= ,△ABC的面積S△ABC=3 ,求b+c的值,;
(3)若函數(shù)f(x)=2sinxcos(x+ ),求f(B)的取值范圍.

【答案】
(1)解:銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足 = ,

= ,

整理,得bc=b2+c2﹣a2,

∴cosA= = = ,

∴A=


(2)解:∵a= ,△ABC的面積S△ABC=3 ,A= ,

∴S△ABC= =3 ,解得bc=12,

cosA= = = ,解得b2+c2=25,

∴(b+c)2=b2+c2+2bc=25+24=49,

∴b+c=7


(3)解:∵f(x)=2sinxcos(x+

=2sinx(cosxcos ﹣sinxsin

= sinxcosx﹣sin2x

= sin2x﹣

= sin2x+ cos2x﹣

=cos sin2x+sin cos2x﹣

=sin(2x+ )﹣ ,

∵A= ,∴銳角△ABC中,B∈(0, ),∴2B+ ∈( , ),

f(B)=sin(2B+ )﹣ ,

當(dāng)2B+ = 時,f(B)max=1﹣ = ,

當(dāng)2B+ = 時,f(B)min=﹣ =﹣

∴f(B)的取值范圍是(﹣ ,


【解析】(1)利用余弦定理推導(dǎo)出bc=b2+c2﹣a2,從而求出cosA= ,進(jìn)而能求出A.(2)由S△ABC= =3 ,得bc=12,由余弦定理求出b2+c2=25,從而求出(b+c)2,進(jìn)而求出b+c的值.(3)由f(x)=2sinxcos(x+ )=sin(2x+ )﹣ ,A= ,得2B+ ∈( ),由此能求出f(B)=sin(2B+ )﹣ 的取值范圍.

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