動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線,的距離之比為
(1)求的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(與x軸不重合)與(1)中軌跡交于兩點(diǎn)、.探究是否存在一定點(diǎn)E(t,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等?若存在,求出t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

(1) ;(2)2

解析試題分析:(1)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線,的距離之比為 .根據(jù)兩點(diǎn)的距離即點(diǎn)到直線的距離公式,即可求出結(jié)論.
(2)根據(jù)題意假設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程消去y,得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理得到M,N的坐標(biāo)的關(guān)系式.因?yàn)轭}意要求x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等,所以滿足.結(jié)合韋達(dá)定理,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)由題意得, ,
化簡(jiǎn)得,,即,即點(diǎn)的軌跡方程
(2)若存在點(diǎn)E(t,0)滿足題設(shè)條件.并設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
當(dāng)⊥x軸時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知,x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等
當(dāng)與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0).
,得,
所以
根據(jù)題意,x軸平分∠MEN,則直線ME、NE的傾斜角互補(bǔ),即KME+KNE=0.
設(shè)E(t,0),則有(當(dāng)x1=t或x2=t時(shí)不合題意)
又k≠0,所以,將y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入上式,得
又k≠0,所以,即,
,將代入,解得t=2.
綜上,存在定點(diǎn)E(2,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EM、EN的距離相等.
考點(diǎn):1.待定系數(shù)求橢圓的方程.2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.歸納轉(zhuǎn)化的思想.4.運(yùn)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)作傾斜角為的直線交橢圓,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點(diǎn),設(shè)是橢圓上的一點(diǎn),過(guò)、兩點(diǎn)的直線軸于點(diǎn),若, 求的取值范圍;
(3)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.
(3)求△F1MF2的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

過(guò)橢圓Γ=1(ab>0)右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),F1為其左焦點(diǎn),已知△AF1B的周長(zhǎng)為8,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,且?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,且過(guò)點(diǎn)(2,).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)M,N,P,Q是橢圓C上的四個(gè)不同的點(diǎn),兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過(guò)點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且這兩條直線互相垂直,求證:為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,直線軸交于點(diǎn),若(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),為圓的任意一條直徑(、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是Q,點(diǎn)M,試判斷|PM|+|PQ|是否存在最小值,若存在,求出其最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作互相垂直的兩直線分別交拋物線于A,C,B,D,求四邊形ABCD面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知直線lyx,圓Ox2y2=5,橢圓E=1(a>b>0)的離心率e,直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩條切線的斜率之積為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2x2y2=4的直徑.l1,l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
 
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求當(dāng)△ABD的面積取最大值時(shí),直線l1的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案