已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列、滿足.
(Ⅰ)當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列(各項都相等的數(shù)列),且時,求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)、都是公差不為0的等差數(shù)列,求證:數(shù)列有無窮多個,而數(shù)列惟一確定;
(Ⅲ)設(shè),,求證:.
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)由是常數(shù)列,得,進(jìn)而探求數(shù)列項間的關(guān)系;(Ⅱ)將等差數(shù)列、 的通項公式代入,根據(jù)等式恒成立,求首項和公差;(Ⅲ)利用題中所給關(guān)系式對進(jìn)行適當(dāng)放縮,求出上界和下界.
試題解析:
(Ⅰ)因為數(shù)列是常數(shù)列,且,所以①,因此②,①-②得,,這說明數(shù)列的序號為奇數(shù)的項及序號為偶數(shù)的項均按原順序組成公差為2的等差數(shù)列,又,,所以,因此,,即.
(Ⅱ)設(shè)、都是公差分別為,將其通項公式代入得,因為它是恒等式,所以,解得,因此.
由于可以取無窮多非零的實數(shù),故數(shù)列有無窮多個,而數(shù)列惟一確定;
(Ⅲ)因為,且,所以,即,所以,得,因此.
又由得,,而,所以,因此
,所以,所以.
考點:等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列及其前項和滿足: (,).
(1)證明:設(shè),是等差數(shù)列;
(2)求及;
(3)判斷數(shù)列是否存在最大或最小項,若有則求出來,若沒有請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項為1,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前n項和為,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)令,數(shù)列的前n項和為,若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,點在直線上,且.
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項和為,,成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在等差數(shù)列中,,,記數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù)、,且,使得、、成等比數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的、的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)為等差數(shù)列,是等差數(shù)列的前項和,已知,.
(1)求數(shù)列的通項公式;(2)為數(shù)列的前項和,求.
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