Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，給出下列命題：
①f（x）在R上單調(diào)遞增；
②f（x）在R上有極值；
③函數(shù)y=f（x+1）-1是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）-x必有三個零點．則其中假命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用圖象的對稱性解得a、b的值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，得出①正確，②錯誤；
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷③正確，根據(jù)二次函數(shù)根的判斷可得④錯誤．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，
∴2-f（x）=（2-x）³+a（2-x）²+b（2-x），
即f（x）=x³-（a+6）x²+（b+4a+12）x-4a-2b，
比較系數(shù)得

-(a+6)=a b+4a+12=b -4a-2b=0

解得

a=-3 b=6

∴f（x）=x³-3x²+6x，
∴f′（x）=3x²-6x+6=3（x-1）²+3＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增，故①正確，②錯誤；
由y=f（x+1）-1=x³+3x+3得y=f（x+1）-1是奇函數(shù)，故③正確，
由y=f（x）-x=x（x²-3x+5）得，令g（x）=x²-3x+5則△=9-20=-11＜0，
∴x（x²-3x+5）=0有且只有一解x=0，故④錯誤．
故答案為②④．

點評：本題主要考查函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、極值、奇偶性、零點的判斷方法，是對函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，屬中檔題．