已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an-n（其中n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=
log2(an+1)
2n
，且Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由于Sn=2an-n，n∈N*總成立，可得出Sn+1=2an+1-（n+1），此兩式作差，即可整理出等比數(shù)列的形式，證明結論；
（2）先由已知求出bn的通項公式，根據(jù)其形式選擇錯位相減法求和．
解答： 解：（1）∵Sn=2an-n，n∈N*．①
∴Sn+1=2an+1-（n+1），②
②-①得an+1=2an+1，整理得an+1+1=2（an+1）．
又S1=2a1-1，得a1=1
故{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以an+1=2n，即an=2n-1，
（2）bn=
log2(an+1)
2n
=
n
2n
．
所以Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
    ③
1
2
Tn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
   ④
③-④得
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n-1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
×(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1

∴Tn=2-
n+2
2n
點評：本題考查等比關系的確定及錯位相減法求和，是數(shù)列大型考試中熱門題型，尤其是錯位相減法，要理解其過程及原理，目的．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b均為正數(shù)，且a+b=1，證明：
（1）（ax+by）2≤ax2+by2
（2）（a+
1
a
）2+（b+
1
b
）2≥
25
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線y=lnx-1在x=1處的切線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[
1
e
，e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的圖象關于點（1，1）對稱，給出下列命題：
①f（x）在R上單調遞增；
②f（x）在R上有極值；
③函數(shù)y=f（x+1）-1是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）-x必有三個零點．則其中假命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，點D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于點E，點F在DA的延長線上，AF=AE，求證：
（Ⅰ）BF是⊙O的切線；
（Ⅱ）BE2=AE•DF．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，對任意n∈N*，
4Sn
n
=an+1-n2-2n-1．
（1）求a2；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）求證：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
5
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)h（x）=2px-3lnx-
p
x
-1和函數(shù)f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=h（x）+f（x）在定義域內為單調函數(shù)，求p的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅲ）證明：
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
＜n-1（n∈N*，n≥2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)Z=
3
+i
(1-
3
i)2
，則|
1
Z
|=
 
．

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