Question

根據(jù)要求證明下列各題：
（1）用分析法證明：

3

-

2

＞

6

-

5

（2）用分析法證明：1，

2

，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：選作題,分析法,反證法

分析：（1）分析使不等式

3

-

2

＞

6

-

5

成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．
（2）利用反證法證明，假設(shè)1，

2

，3是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別是第m，n，k項(xiàng)，推出

2

-1是有理數(shù)，這與

2

-1是無理數(shù)相矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

解答： 證明：（1）要證：

3

-

2

＞

6

-

5

；即證：

3

+

5

＞

2

+

6

；
即證：(

3

+

5

)2＞(

2

+

6

)2；即證：8+2

15

＞8+2

12

；
即證：

15

＞

12

；即證：15＞12；而15＞12顯然成立，且以上各步皆可逆，
所以：

3

-

2

＞

6

-

5

     …（7分）
（2）假設(shè)1，

2

，3是某一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且分別是第m，n，k項(xiàng)（m，n，k∈N^*），…（9分）
則數(shù)列的公差d=

2 -1

n-m

=

3-1

k-m

，則

2

-1=

2(n-m)

k-m

，
因?yàn)閙，n，k∈N^*，所以（n-m），（k-m）∈Z，所以

2(n-m)

k-m

為有理數(shù)，…（12分）
所以

2

-1是有理數(shù)，這與

2

-1是無理數(shù)相矛盾．
故假設(shè)不成立，所以1，

2

，3不可能是某等差數(shù)列的三項(xiàng)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止；反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； ②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．