Question

如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四邊形，DD₁⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）證明：BD⊥平面ADD₁A₁；
（2）證明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）利用余弦定理和已知條件求得BD和AD的關(guān)系，進(jìn)而求得AD²+BD²=AB²，推斷出AD⊥BD，依據(jù)DD₁⊥平面ABCD，可知DD₁⊥BD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BD⊥平面ADD₁A₁．
（2）連接AC，A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，連接EA₁，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推斷出EC=

1

2

AC，由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A₁B₁知A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，進(jìn)而推斷出四邊形A₁ECC₁是平行四邊形，因此CC₁∥EA₁，最后利用線面平行的判定定理推斷出CC₁∥平面A₁BD．

解答： （1）證明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得

     BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD．
∴DD₁⊥BD，
又AD∩DD₁=D，
∴BD⊥平面ADD₁A₁．
（2）證明：連接AC，A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，連接EA₁，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴EC=

1

2

AC，
由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A₁B₁知
A₁C₁∥EC，且A₁C₁=EC，
∴四邊形A₁ECC₁是平行四邊形，因此CC₁∥EA₁，
又∵EA₁?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定．考查了學(xué)生對(duì)立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．