【題目】設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與 的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求a的取值范圍,使得g(a)﹣g(x)< 對任意x>0成立.

【答案】解:(Ⅰ)由題設(shè)知f(x)=lnx,g(x)=lnx+ ,

∴g'(x)= ,令g′(x)=0得x=1,

當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間.

當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,

因此,x=1是g(x)的唯一值點,且為極小值點,

從而是最小值點,所以最小值為g(1)=1.

(II)

設(shè) ,則h'(x)=﹣ ,

當(dāng)x=1時,h(1)=0,即

當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞)時,h′(1)<0,

因此,h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

當(dāng)0<x<1時,h(x)>h(1)=0,即

當(dāng)x>1時,h(x)<h(1)=0,即

(III)由(I)知g(x)的最小值為1,

所以,g(a)﹣g(x)< ,對任意x>0,成立g(a)﹣1< ,

即Ina<1,從而得0<a<e.


【解析】(I)求導(dǎo),并判斷導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值,即可求得結(jié)果;(Ⅱ)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,判斷兩個函數(shù)的大小關(guān)系即可.(Ⅲ)利用(Ⅰ)的結(jié)論,轉(zhuǎn)化不等式,求解即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

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(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;

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【題目】已知函數(shù)= ,其中.

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(1)求函數(shù)的解析式,并求當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當(dāng)時, 的最大值為5,求的值;

(3)當(dāng)時,若不等式上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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