【題目】如圖,直線與橢圓交于兩點(diǎn),是橢圓右頂點(diǎn),已知直線的斜率為,的外接圓半徑為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓上有兩點(diǎn),使的平分線垂直,且,求直線的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
(1)設(shè),,根據(jù)直線的斜率為,可得,再利用,即可得是直角三角形,從而可求出的長(zhǎng),再結(jié)合,可求出的長(zhǎng),進(jìn)而求出及點(diǎn)的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓的方程即可求出;
(2) 由(1)知,由的平分線垂直知直線與關(guān)于對(duì)稱,因此可設(shè)的斜率為,則的斜率為,將直線分別與橢圓聯(lián)立方程組,利用兩根之積,求出的坐標(biāo),從而可求出直線的斜率,再利用弦長(zhǎng)公式求出即可求出,進(jìn)而求出直線的方程.
(1)連結(jié),設(shè),,所以直線的斜率,所以,
所以,由橢圓的對(duì)稱性可知,所以,
所以,所以,所以是直角三角形,
故的外接圓半徑,所以,
因?yàn)橹本的方程為,所以直線的傾斜角,
所以,所以在中,,所以,
所以,所以,代入橢圓的方程可得,
所以,故橢圓方程為.
(2)由(1)知,由的平分線垂直知直線與關(guān)于對(duì)稱,
設(shè)的斜率為,則的斜率為,,
與橢圓聯(lián)立得,
所以,又,所以,
所以
所以,同理得,
所以,
由弦長(zhǎng)公式得,解得或
不妨設(shè)在的左側(cè),
當(dāng)時(shí),,;
當(dāng)時(shí),,.
綜上所述,或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:直線平面;
(2),,,,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊擊中目標(biāo)的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2,3表示沒(méi)有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù):
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)半徑為2千米,圓心角為的扇形游覽區(qū)的平面示意圖是半徑上一點(diǎn),是圓弧上一點(diǎn),且.現(xiàn)在線段,線段及圓弧三段所示位置設(shè)立廣告位,經(jīng)測(cè)算廣告位出租收入是:線段處每千米為元,線段及圓弧處每千米均為元.設(shè)弧度,廣告位出租的總收入為元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)試問(wèn):為何值時(shí),廣告位出租的總收入最大?并求出其最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱錐中,點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題:
①若平面ABC,則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形;
②若S在平面ABC上的射影是斜邊AB的中點(diǎn)P,則有;
③若,,,平面ABC,則面積的最小值為3;
④若,,,平面ABC,則三棱錐的外接球體積為.
其中正確命題的序號(hào)是__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn);
②要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位;
③若,則函數(shù)的值城為;
④“”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件;
⑤已知為等差數(shù)列,若,且它的前項(xiàng)和有最大值,那么當(dāng)取得最小正值時(shí),.
其中正確命題的序號(hào)是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為保障食品安全,某地食品藥監(jiān)管部門(mén)對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩家食品企業(yè)進(jìn)行檢查,分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類(lèi)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本,并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù).已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下:
質(zhì)量指標(biāo)值 | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45] |
等級(jí) | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 三等品 | 次品 |
根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組,統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表(如下面表,其中a>0).
質(zhì)量指標(biāo)值 | 頻數(shù) |
[15,20) | 2 |
[20,25) | 18 |
[25,30) | 48 |
[30,35) | 14 |
[35,40) | 16 |
[40,45] | 2 |
合計(jì) | 100 |
(Ⅰ)現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,試估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率;
(Ⅱ)為守法經(jīng)營(yíng)、提高利潤(rùn),乙企業(yè)開(kāi)展次品生產(chǎn)原因調(diào)查活動(dòng).已知乙企業(yè)從樣本里的次品中隨機(jī)抽取了兩件進(jìn)行分析,求這兩件次品中恰有一件指標(biāo)值屬于[40,45]的產(chǎn)品的概率;
(Ⅲ)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),請(qǐng)自定標(biāo)準(zhǔn),對(duì)甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,若滿足(且),對(duì)于任意的,都有,則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,試判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列滿足,,證明數(shù)列為等比數(shù)列,并判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說(shuō)明理由;
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且,證明數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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