【題目】三棱錐中，點P是斜邊AB上一點．給出下列四個命題：

①若平面ABC，則三棱錐的四個面都是直角三角形；

②若S在平面ABC上的射影是斜邊AB的中點P，則有；

③若，，，平面ABC，則面積的最小值為3；

④若，，，平面ABC，則三棱錐的外接球體積為．

其中正確命題的序號是__________．(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)

【答案】①②④.

【解析】

由平面，所以，，從而得到四個面都是直角三角形; 連接,當(dāng)平面時，得到，從而得到；當(dāng)平面時，. 時，取得最小值，由此求出的最小值是;

三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球,，，即可求出體積.

對于①，因為平面，所以，，，又，∴平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；

對于②，由在平面上的射影是斜邊的中點，可得平面，連接，有，，，因為P是斜邊AB的中點，所以，故，∴②正確；

對于③，當(dāng)平面時，.當(dāng)時，取得最小值，由等面積可得此時長度為，所以的最小值是；∴③不正確；

對于④，若，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，

④正確，故答案為①②④．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長途車站P與地鐵站O的距離為千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經(jīng)測量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角滿足tan＝（其中0＜θ＜)，現(xiàn)要經(jīng)過P修條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點，并在A，B處設(shè)立公共自行車停放點．

（1）已知修建道路PA，PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價相等，求此時點A，B之間的距離；

（2）考慮環(huán)境因素，需要對OA，OB段道路進(jìn)行翻修，OA，OB段的翻修單價分別為n元/千米和n元/千米，要使兩段道路的翻修總價最少，試確定A，B點的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布，求:

(i)在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？

（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨立，問：這位農(nóng)民中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少？

附：參考數(shù)據(jù)與公式

則①；②；③.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點，是否存在直線 ，使得到直線的距離滿足恒成立，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直線與橢圓交于兩點，是橢圓右頂點，已知直線的斜率為，的外接圓半徑為.

(1)求橢圓的方程；

(2)若橢圓上有兩點，使的平分線垂直，且，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b為實數(shù)，函數(shù).

（1）已知，討論的奇偶性；

（2）若，①若，求在上的值域；

②若，解關(guān)于x的不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)教師對本次全部學(xué)生的數(shù)學(xué)成績按1∶20進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績?yōu)闃颖�，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：

分?jǐn)?shù)段（分）

總計

頻數(shù)

頻率

0.25

（1）求表中，的值及成績在范圍內(nèi)的樣本數(shù)；

（2）從成績內(nèi)的樣本中隨機(jī)抽取4個樣本，設(shè)其中成績在內(nèi)的樣本個數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）若把樣本各分?jǐn)?shù)段的頻率看作總體相應(yīng)各分?jǐn)?shù)段的概率，現(xiàn)從全校高三期中考試數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取5個，求其中恰有2個成績在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列結(jié)論中錯誤的是____________．

①；

②平面；

③三棱錐的體積為定值；

④異面直線，所成的角為定值．

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