Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)的取值不同進(jìn)行分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性求出在上的最小值，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出在上的最大值，計(jì)算的值，然后分類討論，結(jié)合已知以及絕對(duì)值的意義進(jìn)行求解即可；

（3）要證，由（1）知由得；

只要證明即可，根據(jù)方程根的性質(zhì)，求出的表達(dá)式，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

（1）（）

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得；

由得，函數(shù)在上遞增，在上遞減

（2）當(dāng)時(shí)，，

令得（舍去），

當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，則顯然成立，即

②當(dāng)時(shí)，則，即，

綜上.

（3）要證，由（1）知由得；

只要證明即可

∵是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)

∴，

∴，

即，∴

即證

即證，

設(shè)

令，

則在上單調(diào)遞增，恒成立，得證.