Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)且垂直于線(xiàn)段，則雙曲線(xiàn)C的方程為________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的定義，知，設(shè)三角形的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)為，、分別為內(nèi)切圓與、的切點(diǎn)，由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線(xiàn)相等知，由此得到，再利用直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)且垂直于線(xiàn)段，設(shè)，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式和中點(diǎn)在直線(xiàn)上，化簡(jiǎn)整理得，再利用雙曲線(xiàn)的定義，得，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)方程.

點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的定義，知，若設(shè)三角形的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)為，、分別為內(nèi)切圓與、的切點(diǎn)，

由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線(xiàn)相等知，且，

則有，

所以，即，

再設(shè)，，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，

由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)且垂直于線(xiàn)段，

所以有，，整理得，，即，

所以，，又，

所以，在雙曲線(xiàn)中，，

故雙曲線(xiàn)方程為.

故答案為：.