Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間，為此必須對(duì)分類討論，先分類，，時(shí)，按和分類，在時(shí)按和分類，時(shí)，兩根是負(fù)數(shù)，不在定義域內(nèi)，而時(shí)，的兩根一正一負(fù)，易得結(jié)論；

（2）由（1）只有時(shí)，在一個(gè)極大值點(diǎn)，因此題意要求，，其中．滿足即，即，這樣有．于是令，討論的單調(diào)性得，所以等價(jià)于，解不等式可得結(jié)論。

（1）由題可得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

．

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

②當(dāng)時(shí)，令，即，即，．

當(dāng)，即時(shí)，，

故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，．

若，則，，

此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，則，，

此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)函數(shù)有極大值，極大值為，其中．

又，所以，即，所以．

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

又，所以當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于，

即當(dāng)時(shí)，，即，

顯然當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，

故存在滿足條件的實(shí)數(shù)，使函數(shù)的極值大于，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．