Question

【題目】設(shè)點A，B的坐標分別為（-2，0），（2，0）直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-．

（1）求點M的軌跡E的方程；

（2）設(shè)直線l：y=kx與E交于C，D兩點，F1（-1，0），F2（1，0），若E上存在點P，使得，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（x≠±2）（2）k的取值范圍是[-）∪（0，]

【解析】

（1）設(shè)M（x，y），由題意得 ，由此能求出點M的軌跡E的方程．

（2）設(shè)C（x1，y1），P（2cos，），則=2，點P到直線l的距離d==≤，|CD|=2|y1|，k≠0，從而S△PCD=≤|y1|．從而只需4|y1|≤|y1|，由此能求出k的取值范圍．

（1）設(shè)M（x，y），由題意得： （x≠±2），

化簡，得點M的軌跡E的方程為，（x≠±2）．

（2）設(shè)C（x1，y1），P（2cos，），

∴=2=，

點P到直線l的距離d=≤，

∵|CD|=2|y1|，k≠0，

∴S△PCD=≤|y1|=|y1|．

∵E上存在點P，使得，

∴只需4|y1|≤|y1|，解得k2．

∵k≠0，∴k的取值范圍是[-）∪（0，]．