Question

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

Ⅱ若對于都有成立，試求a的取值范圍；

Ⅲ記當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解: (I) 直線的斜率為1.

函數(shù)的定義域為，

因為，所以，所以.

所以..

由解得；由解得.

所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. ……………………4分

(II)，

由解得；由解得.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以當時，函數(shù)取得最小值，.

因為對于都有成立，

所以即可.

則. 由解得.

所以的取值范圍是. ………………………………8分

(III)依題得，則.

由解得；由解得.

所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù).

又因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以

解得.

所以的取值范圍是. ……………………………………13分

【解析】

Ⅰ求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)，求出導數(shù)大于0的區(qū)間，即為函數(shù)的增區(qū)間，求出導數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間；Ⅱ根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使恒成立，需使函數(shù)的最小值大于，從而求得a的取值范圍；Ⅲ利用導數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，得到，解出實數(shù)b的取值范圍．

Ⅰ直線的斜率為1，函數(shù)的定義域為，

因為，所以，，所以，．

所以，，由 解得；由解得．

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

Ⅱ ，由,解得；由解得．

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

所以，當時，函數(shù)取得最小值，因為對于都有成立，

所以，即可則由解得．

所以，a的取值范圍是．

Ⅲ依題得，則．

由解得； 由解得．

所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．

又因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以，

解得所以，b的取值范圍是．