Question

【題目】設橢圓E的方程為 (a>b>0)，點O為坐標原點，點A的坐標為(a，0)，點B的坐標為(0，b)，點M在線段AB上，滿足BM＝2MA，直線OM的斜率為.

(1)求E的離心率e；

(2)設點C的坐標為(0，－b)，N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意，點的坐標為，根據的斜率為，得到的關系式，即可求解橢圓的離心率；

（2）由（1）可得直線的方程為，得點的坐標，解得點關于點的對稱點，列出方程組，求解的值，進而得到橢圓的方程．

試題解析：

解　(1)由題設條件知，點M的坐標為，又kOM＝，從而＝，

進而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)由題設條件和(1)的計算結果可得，直線AB的方程為＋＝1，點N的坐標為.

設點N關于直線AB的對稱點S的坐標為，

則線段NS的中點T的坐標為.

又點T在直線AB上，且kNS·kAB＝－1，

從而有解得b＝3.

所以a＝3，故橢圓E的方程為＋＝1.