Question

【題目】正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)是3，是在底面上的射影，，是上的一點(diǎn)，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形．

（1）在圖中作出截面，并寫(xiě)出作圖過(guò)程；

（2）求該截面面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）9.

【解析】

（1）根據(jù)題意，作輔助線，過(guò)作， 且過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接， 即可得出截面；

（2）由題意可知，截面，截面，根據(jù)平面，利用線面垂直的性質(zhì)和判定，可證出平面，則，進(jìn)而得出，所以截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，設(shè)，則，截面面積為，根據(jù)，代入計(jì)算，最后利用二次函數(shù)求得最大值.

解：（1）由題可知，是上的一點(diǎn)，過(guò)且與、都平行的截面為五邊形，

過(guò)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

過(guò)作，交于點(diǎn)，

再過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

，，，

，

所以共面，平面，

，平面，

平面，同理平面.

所以過(guò)且與、都平行的截面如下圖：

（2）由題意可知，截面，截面，

，，

而是在底面上的射影，，

平面，，

，且，

所以平面，則，

，

又， 為正四棱錐，

，故，

于是，

因此截面是由兩個(gè)全等的直角梯形組成，

因，則為等腰直角三角形，

設(shè)，則，

所以，，

，同理得，，

又因?yàn)?/span>，

設(shè)截面面積為，

所以，

即：，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為9.

所以截面的面積最大值為9.