Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)（，）

（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)為導(dǎo)數(shù)，

（i）證明：當(dāng)，時(shí)，；

（ii）設(shè)關(guān)于的方程的根為，求證：

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的增區(qū)間為及，減區(qū)間為。

（2）（i）證明見解析，（ii）證明見解析。

【解析】

（1）對(duì)，求導(dǎo)可得，分當(dāng)為大于1的奇數(shù)，和為偶數(shù)時(shí)兩種情況討論可得的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）設(shè)，，求導(dǎo)得，根據(jù)研究即可得到所證結(jié)論；

（ii），原方程化為解得，因?yàn)?/span>，所以；作差得，，由（i）知，可得，所以，即可得證.

（1），

當(dāng)，時(shí)

即

（a）當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)

故的增區(qū)間為，減區(qū)間為

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，由于，所以

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)

故的增區(qū)間為及，減區(qū)間為

綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的增區(qū)間為及，減區(qū)間為，

（2）（i）證明：設(shè)，，則，

因?yàn)?/span>，，故在是增函數(shù)，

從而，由于，

所以，

所以在是增函數(shù)，，即

（ii），原方程化為

解得，因?yàn)?/span>，所以；

作差得，，

由（i）知，當(dāng)，時(shí)，，

令，，故有，所以，，

綜上，