【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的輔圓”.過橢圓第一象限內(nèi)一點Px軸的垂線交其輔圓于點Q,當(dāng)點Q在點P的上方時,稱點Q為點P上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.

1)求橢圓E的方程;

2)若的面積等于,求上輔點Q的坐標(biāo);

3)過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T,判斷直線PT與橢圓E的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】1;(2;(3)直線PT與橢圓相切,證明見解析

【解析】

1)根據(jù)定義直接求解即可;(2)設(shè)點,,則點,,則可得到,再根據(jù)的面積可得到,進(jìn)一步與橢圓方程聯(lián)立即得解;(3)表示出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,再判斷△即可得出結(jié)論.

1橢圓上的點的上輔點為,

輔圓的半徑為,橢圓長半軸為,

將點代入橢圓方程中,解得,

橢圓的方程為;

2)設(shè)點,則點,,將兩點坐標(biāo)分別代入輔圓方程和橢圓方程可得,,,

,即,

,則,

聯(lián)立可解得,則,

的坐標(biāo)為

3)直線與橢圓相切,證明如下:

設(shè)點,由(2)可知,,

與輔圓相切于點的直線方程為,則點

直線的方程為:,整理得

與橢圓聯(lián)立并整理可得,,

由一元二次方程的判別式,可知,上述方程只有一個解,故直線與橢圓相切.

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