【題目】已知三棱錐的展開圖如圖二，其中四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；

（2）若是的中點，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)的中點為，連接，，由邊長關(guān)系得，從而可得平面，即可證明平面平面；

（2）由（1）問可知平面，所以以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角的余弦值。

（1）設(shè)的中點為，連接，，

由題意，得，，．

因為在中，，為的中點，所以，

因為在中，，，，

，所以

因為，，平面，所以平面，

平面，所以平面平面

（2）由（1）問可知平面，所以，，，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，則

由得：．令，得，，即

．

設(shè)平面的法向量為，由得：

，令，得，，即

．由圖可知，二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.

（1）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（2）組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個數(shù)？

（3）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

（4）選出一個偶數(shù)和三個奇數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)共有多少個？

（5）如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由大到小的順序排列，則稱此正整數(shù)為“漸減數(shù)”， 那么由這十個數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有多少個？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若在處有極值，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)，使在區(qū)間上的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分（滿分10分），現(xiàn)將評分分為5組，如下表：

組別

一

二

三

四

五

滿意度評分

[0，2）

[2，4）

[4，6）

[6，8）

[8，10]

頻數(shù)

5

10

a

32

16

頻率

0.05

b

0.37

c

0.16

(1)求表格中的a，b，c的值；

(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；

(3)若從這100名用戶中隨機抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數(shù)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，為的中點，平面且，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

頻數(shù)

1

3

2

4

9

26

5

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

頻數(shù)

1

5

13

10

16

5

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個工廠在某年連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：

x

1.08

1.12

1.19

1.28

1.36

1.48

1.59

1.68

1.80

1.87

y

2.25

2.37

2.40

2.55

2.64

2.75

2.92

3.03

3.14

3.26

（1）通過畫散點圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程；

②通過建立的y關(guān)于x的回歸方程，估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時，此時產(chǎn)品的總成本為多少萬元？

（均精確到0.001）

附注：①參考數(shù)據(jù)：，

，

②參考公式：相關(guān)系數(shù)，

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，射線OM的極坐標(biāo)方程為.

（1）求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；

（2）已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長.

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