【題目】已知數(shù)列滿足，（是自然對數(shù)的底數(shù)），且，令（）.

（1）證明：；

（2）證明：是等比數(shù)列，且的通項公式是；

（3）是否存在常數(shù)，對任意自然數(shù)均有成立？若存在，求的取值范圍，否則，說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，

【解析】

（1）由已知可得：．利用基本不等式的性質(zhì)可得：，可得，代入化簡即可得出．

（2）設，由，．可得．即可證明是等比數(shù)列，利用通項公式、累加求和方法即可得出．

（3）假設存在常數(shù)，對任意自然數(shù)均有成立．由（2）可得：．時，，解得．時，，利用單調(diào)性即可得出．

解：（1）依題意得，要證明，即證明，

又因為，所以，

要證明，即證明，要證明，即證明，

又因為，即得證.

（2）設，因為，且，

則.

所以：是公比為的等比數(shù)列，則，

．

的通項公式是；

（3）假設存在存在常數(shù)，對任意自然數(shù)均有成立，

由（2）知，，

當時，；

當時，，

而，

則當時，，故存在這樣的，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某銷售公司在當?shù)?/span>、兩家超市各有一個銷售點，每日從同一家食品廠一次性購進一種食品，每件200元，統(tǒng)一零售價每件300元，兩家超市之間調(diào)配食品不計費用，若進貨不足食品廠以每件250元補貨，若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現(xiàn)需決策每日購進食品數(shù)量，為此搜集并整理了、兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售件數(shù)

8

9

10

11

頻數(shù)

20

40

20

20

以這些數(shù)據(jù)的頻數(shù)代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率，記表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù)，表示銷售公司每日共需購進食品的件數(shù).

（1）求的分布列；

（2）以銷售食品利潤的期望為決策依據(jù)，在與之中選其一，應選哪個？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】每年9月第三周是國家網(wǎng)絡安全宣傳周.某學校為調(diào)查本校學生對網(wǎng)絡安全知識的了解情況，組織了《網(wǎng)絡信息辨析測試》活動，并隨機抽取50人的測試成績繪制了頻率分布直方圖如圖所示:

（1）某學生的測試成績是75分，你覺得該同學的測試成績低不低?說明理由；

（2）將成績在內(nèi)定義為“合格”；成績在內(nèi)定義為“不合格”.①請將下面的列聯(lián)表補充完整； ②是否有90%的把認為網(wǎng)絡安全知識的掌握情況與性別有關?說明你的理由；

合格

不合格

合計

男生

26

女生

6

合計

（3）在（2）的前提下，對50人按是否合格，利用分層抽樣的方法抽取5人，再從5人中隨機抽取2人，求恰好2人都合格的概率.附:

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.以原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上的動點，過點且與垂直的直線交于點，求的最小值，并求此時點的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內(nèi)一點P作x軸的垂線交其“輔圓”于點Q，當點Q在點P的上方時，稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若的面積等于，求上輔點Q的坐標；

（3）過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T，判斷直線PT與橢圓E的位置關系，并證明你的結論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設命題p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數(shù)x滿足x2﹣5x+6＜0．

（1）若a＝1，且p∧q為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；

（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，，為邊的中點，點在線段上.

（1）證明：平面平面；

（2）若，平面，求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，以下結論正確的個數(shù)為（ ）

①當時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；

②當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；

③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；

④當時，在上的最大值為15．

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列{an}首項a1＝1，前n項和Sn與an之間滿足an＝

（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列{an}的通項公式

（3）設存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立，求k的最大值．

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