Question

已知矩陣A=（k≠0）的一個特征向量為=，矩陣A的逆矩陣A﹣1對應的變換將點（3，1）變?yōu)辄c（1，1）．

（1）求實數(shù)a，k的值；

（2）求直線x+2y+1=0在矩陣A的對應變換下得到的圖形方程．

 

Answer 1

（1）a=2，k=1．（2）x+3y+2=0．

【解析】

試題分析：（1）利用特征值與特征向量的定義，可求a；利用A的逆矩陣A﹣1對應的變換將點（3，1）變?yōu)辄c（1，1），可求k的值．

（2）利用矩陣變換，確定坐標之間的關(guān)系，即可得到在A對應的變換作用下的新曲線的方程．

【解析】
設(shè)特征向量為=，對應的特征值為λ，則=λ，即 因為k≠0，所以a=2．

因為A﹣1=，所以A=，所以2+k=3，解得k=1．

綜上，a=2，k=1．

（2）設(shè)直線x+2y+1=0上任一點P（x，y）在A對應的變換作用下對應點P'（x'，y'），

∴=，

∴，

代入x+2y+1=0，化簡可得x′+3y′+2=0，

∴得到的圖形方程為x+3y+2=0．