Question

已知點F₁、F₂分別是橢圓

x2

2

+

y2

1

=1的左、右焦點，過F₂作傾斜角為

π

4

的直線，求△F₁AB的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓

x2

2

+

y2

1

=1可得橢圓的左焦點F₁、右焦點F₂．可得直線AB的方程為y=x-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：由橢圓

x2

2

+

y2

1

=1可得橢圓的左焦點F₁（-1，0）、右焦點F₂（1，0）．
∴直線AB的方程為y=x-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=x-1 x2+2y2=2

，化為3x²-4x=0，
∴x1+x2=

4

3

，x₁x₂=0．
∴|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( 4 3 )2-4×0]

=

4 2

3

．
點F₁到直線AB的距離d=

|-1×1-0-1|

2

=

2

．
∴S△AF1B=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

2

×

4 2

3

=

4

3

．

點評：本題考查了直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的方程聯(lián)立及根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．