Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M．
（1）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（1，3）處，求此時(shí)切線l的方程；
（2）求滿足條件|PM|=|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圓心為C（﹣1，2），半徑r=2．

當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x=1，C到l的距離d=2=r，滿足條件．

當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，

則 =2，解得k=﹣ ．∴l(xiāng)的方程為y﹣3=﹣ （x﹣1），即3x+4y﹣15=0．

綜上，滿足條件的切線l的方程為x=1，或3x+4y﹣15=0

（2）解：設(shè)P（x，y），則|PM|2=|PC|2﹣|MC|2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣4，|PO|2=x2+y2．

∵|PM|=|PO|，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣4=x2+y2，整理，得2x﹣4y+1=0，

∴點(diǎn)P的軌跡方程為2x﹣4y+1=0

【解析】（1）對(duì)切線的斜率是否存在分類討論，用點(diǎn)斜式求得直線的方程．（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，代入平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)得軌跡方程．