Question

6．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，且a_n=2a_n-1-1（n∈N^*，N≥2）
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{n•a_n-n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）已知通項(xiàng)公式變形，利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷得證，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）根據(jù)題意表示出數(shù)列{n•a_n-n}的前n項(xiàng)和S_n，利用數(shù)列的遞推式確定出S_n通項(xiàng)公式即可．

解答 證明：（1）由a_n=2a_n-1-1，得a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}構(gòu)成首項(xiàng)為a₁-1=1，公比q=2的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=2^n-1+1；
解：（2）∵na_n-n=n•2^n-1+n-n=n•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①，
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②，
②-①，得：S_n=-2⁰-2¹-2²-…-2^n-1+n•2ⁿ=-$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n•2ⁿ=n•2ⁿ+1-2ⁿ=（n-1）2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)列的求和，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解本題的關(guān)鍵．