【題目】如圖,在直三棱柱中,是等腰直角三角形,,,點D是側(cè)棱上的一點.
(1)證明:當(dāng)點D是的中點時,平面BCD;
(2)若二面角的余弦值為求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)分別證明與即可.
(2) 以為坐標(biāo)原點,分別以射線CA,CB,為x軸,y軸,z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),利用二面角的余弦值為求得,再利用空間向量求解二面角的方法求解二面角的余弦值即可.
(1)平面ABC,平面ABC
又,平面,平面
平面
,
平面DCB,平面DCB
平面DCB
(2)
以為坐標(biāo)原點,分別以射線CA,CB,為x軸,y軸,z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),,,,
,
設(shè)為平面的法向量,則,
設(shè)則有,.此時
是平面的法向量,則
,
因為是平面的法向量,則
則二面角的余弦值是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;
(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;
(3)對規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當(dāng)d最小時,P、Q兩點間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校進(jìn)行自主招生測試,報考學(xué)生有500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的成績是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計了他們測試的分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成4組:,,,分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖可以估計女生測試成績的平均值為103.5,請你估計男生測試成績的平均值,由此推斷男、女生測試成績的平均水平的高低;
(Ⅱ)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于110分的學(xué)生為“優(yōu)秀生”,請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“優(yōu)秀生與性別有關(guān)”?
優(yōu)秀生 | 非優(yōu)秀生 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):
P() | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為3的疋方形,側(cè)面與底面垂直,過點作的垂線,垂足為,且滿足,點在棱上,
(1)當(dāng)時,求直線與平面所成角的正弦值;
(2)當(dāng)取何值時,二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上存在一點,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩班舉行數(shù)學(xué)知識競賽,參賽學(xué)生的競賽得分統(tǒng)計結(jié)果如下表:
班級 | 參賽人數(shù) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 45 | 83 | 86 | 85 | 82 |
乙 | 45 | 83 | 84 | 85 | 133 |
某同學(xué)分析上表后得到如下結(jié)論:
①甲、乙兩班學(xué)生的平均成績相同;
②乙班優(yōu)秀的人數(shù)少于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(競賽得分分為優(yōu)秀);
③甲、乙兩班成績?yōu)?/span>85分的學(xué)生人數(shù)比成績?yōu)槠渌档膶W(xué)生人數(shù)多;
④乙班成績波動比甲班小.
其中正確結(jié)論有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓柱底面半徑為1,高為,是圓柱的一個軸截面,動點從點出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點,其距離最短時在側(cè)面留下的曲線如圖所示.將軸截面繞著軸逆時針旋轉(zhuǎn)后,邊與曲線相交于點.
(1)求曲線的長度;
(2)當(dāng)時,求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線方程為9x﹣y+b=0,求實數(shù)a,b的值;
(2)若a≤0,求f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)對一切實數(shù)a∈(0,1),求f(x)的極小值的最大值.
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