Question

求證：對任意自然數(shù)n，總有

1

2

+

3

4

+

5

8

+…+

2n-1

2n

＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：直接利用錯位相減法求出數(shù)列的和，則數(shù)列不等式可證．

解答： 證明：令S_n=

1

2

+

3

4

+

5

8

+…+

2n-1

2n

，
則

1

2

Sn=

1

4

+

3

8

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
作差得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n

，
∴Sn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n-1

＜3．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．