Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x+2=0的距離小1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若曲線E上存在A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：2x+4y-9=0對(duì)稱，且線段AB的延長線與直線x+1=0相交于點(diǎn)C，求：
（i）直線AB的方程；
（ii）△FAB與△FCB的面積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x+1=0的距離相等．可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是拋物線．
（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），把A，B的坐標(biāo)代入拋物線方程可得：

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4y2，相減可得2y₀•k_AB=4，由直線l的斜率k_l=-

1

2

，可得k_AB=2，解得y₀，代入直線l的方程可得M，利用點(diǎn)斜式可得直線AB的方程．
（ii）令x=-1，代入直線AB的方程解得C．聯(lián)立

2x-y-4=0 y2=4x

，解得A，B，利用

S△FAB

S△FBC

=

|AB|

|BC|

即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x+1=0的距離相等．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是拋物線：點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線，可得方程為：y²=4x．
（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
把A，B的坐標(biāo)代入拋物線方程可得：

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4y2，
相減可得

(y1-y2)(y1+y2)

x1-x2

=4，
∴2y₀•k_AB=4，
∵kAB×(-

1

2

)=-1，
∴k_AB=2．∴2y₀=2，解得y₀=1，
代入方程2x+4y-9=0可得2x₀+4-9=0，解得x₀=

5

2

．
∴M(

5

2

，1)，可得直線AB的方程為：y-1=2(x-

5

2

)，化為2x-y-4=0．
（ii）令x=-1，代入直線AB的方程2x-y-4=0，解得y=-6，∴C（-1，-6）．
聯(lián)立

2x-y-4=0 y2=4x

，解得

x=1 y=-2

或

x=4 y=4

，
∴A（4，4），B（1，-2），|AB|=

32+62

=3

5

，|BC|=

22+42

=2

5

．
∴

S△FAB

S△FBC

=

|AB|

|BC|

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積之比、線段的垂直平分線的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．